【叉乘的运算公式】在向量代数中，叉乘（也称为向量积或外积）是一种在三维空间中对两个向量进行运算的方法，其结果是一个与这两个向量都垂直的新向量。叉乘在物理、工程和计算机图形学等领域有广泛应用，尤其在计算力矩、旋转方向和法向量时非常常见。
一、叉乘的基本概念
设两个三维向量为 $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$ 和 $\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$，它们的叉乘记作 $\vec{a} \times \vec{b}$，其结果是一个向量，该向量的方向由右手定则决定，大小等于两个向量所形成的平行四边形的面积。
二、叉乘的运算公式
叉乘的运算公式如下：
$$
\vec{a} \times \vec{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
$$
展开后可得：
$$
\vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}
$$
也可以写成坐标形式：
$$
\vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)
$$
三、叉乘的性质总结
| 性质 | 描述 | ||||||
| 反交换性 | $\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$ | ||||||
| 分配律 | $\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$ | ||||||
| 零向量 | 若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 平行，则 $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$ | ||||||
| 模长 | $ | \vec{a} \times \vec{b} | = | \vec{a} | \vec{b} | \sin\theta$，其中 $\theta$ 为两向量夹角 | |
| 垂直性 | 结果向量 $\vec{a} \times \vec{b}$ 与 $\vec{a}$、$\vec{b}$ 均垂直 |
四、叉乘的应用场景
- 物理：计算力矩、磁力等；
- 计算机图形学：计算法线向量、判断物体朝向；
- 工程力学：分析旋转运动和力的作用；
- 机器人学：用于路径规划和姿态控制。
五、示例计算
已知 $\vec{a} = (1, 2, 3)$，$\vec{b} = (4, 5, 6)$，求 $\vec{a} \times \vec{b}$。
根据公式：
$$
\vec{a} \times \vec{b} = (2×6 - 3×5, 3×4 - 1×6, 1×5 - 2×4) = (12 - 15, 12 - 6, 5 - 8) = (-3, 6, -3)
$$
通过以上内容可以看出，叉乘不仅是数学中的一个重要工具，也在实际应用中发挥着不可替代的作用。掌握其运算公式和性质，有助于更深入地理解向量之间的关系以及其在现实世界中的意义。