【数列收敛例题】在数学分析中，数列的收敛性是一个重要的概念。判断一个数列是否收敛，通常需要分析其极限是否存在。以下是一些典型的数列收敛例题，并对其收敛性进行总结。
一、常见数列收敛例题总结
| 序号 | 数列表达式 | 极限（若存在） | 是否收敛 | 说明 |
| 1 | $ a_n = \frac{1}{n} $ | 0 | 是 | 通项随n增大趋于0 |
| 2 | $ a_n = (-1)^n $ | 不存在 | 否 | 振荡不趋于任何值 |
| 3 | $ a_n = \frac{n+1}{n} $ | 1 | 是 | 可化简为 $1 + \frac{1}{n}$ |
| 4 | $ a_n = \sqrt{n} $ | $+\infty$ | 否 | 随n增大无限增长 |
| 5 | $ a_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n $ | e | 是 | 重要极限之一 |
| 6 | $ a_n = \sin\left(\frac{\pi}{n}\right) $ | 0 | 是 | 当n→∞时，sin趋近于0 |
| 7 | $ a_n = \frac{(-1)^n}{n} $ | 0 | 是 | 绝对值趋于0，符号交替 |
| 8 | $ a_n = \frac{n^2 + 3n}{2n^2 - 1} $ | $\frac{1}{2}$ | 是 | 分子分母同除n²后求极限 |
| 9 | $ a_n = \ln(n) $ | $+\infty$ | 否 | 对数函数随n增长无界 |
| 10 | $ a_n = \frac{2^n}{3^n} $ | 0 | 是 | 等比数列，公比小于1 |
二、总结
通过以上例题可以看出，判断一个数列是否收敛，关键在于观察其通项随着n趋向无穷时的变化趋势。如果通项趋于某个有限值，则数列收敛；否则发散。
- 收敛数列：如 $ \frac{1}{n} $、$ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n $ 等；
- 发散数列：如 $ (-1)^n $、$ \sqrt{n} $、$ \ln(n) $ 等；
- 振荡数列：如 $ (-1)^n $，虽然不发散，但也不收敛。
此外，一些常见的方法可以帮助我们判断数列的收敛性，例如：
- 利用极限运算法则；
- 使用夹逼定理；
- 利用已知的极限公式（如 $ \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e $）；
- 分析通项的单调性和有界性（如单调有界定理）。
掌握这些方法有助于更系统地理解数列的收敛行为，为后续学习级数、函数极限等打下基础。